Si se trata de algo que tiene una duración y una vida útil esperada, puede decir “en curso”. P.ej. Le mois en cours, l’exercice budgétaire en cours.
Para la fecha actual, dirías “la date du jour”; la hora actual es “l’heure”, “l’heure actuelle” o “l’heure qu’il est”.
De lo contrario, “actuel” (femenino: actuelle). La situación actuelle. Le président actuel (o l’actuel président).
“Courant” como adjetivo es un falso cognado: en francés, significa “común, habitual, cotidiano”.
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En la frase que mencionaste, “au courant”, es un sustantivo, no un adjetivo. Se refiere al flujo de agua o energía eléctrica. “Autre au courant (de quelque eligió)” significa que usted sabe o está al día sobre algo. “Tenez-moi au courant” podría traducirse como “Mantenerme informado sobre esto”.